Question

在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段BP和BQ；
（2）幾秒鐘后△PBQ的面積等于8cm²？
（3）當(dāng)t為何值時，△ABC與△PBQ相似？

Answer 1

解：（1）∵點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，
∴AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t；

（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過2或4秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²．

（3）設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一種情況：當(dāng)時，△PBQ與△ABC相似，
即，
解得：a=3，
第二種情況：當(dāng)時，△PBQ與△ABC相似，
即，
解得：a=1.2．
答：如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過3或1.2秒鐘，使△PBQ與△ABC相似．
分析：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可用含t的代數(shù)式表示線段BP和BQ；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，由（1）得到BP=6-x，BQ=2x，根據(jù)三角形的面積公式得出方程×（6-x）×2x=8，求出即可；
（3）設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，根據(jù)兩邊成比例并且夾角相等的兩三角形相似得到第一種情況和第二種情況代入求出即可．
點評：本題主要考查對解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．