Question

如圖，矩形ABCD中，AD=

2

，F(xiàn)是DA延長線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，則AB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,直角三角形斜邊上的中線,勾股定理

專題：幾何圖形問題

分析：根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根據(jù)∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2

2

，
由勾股定理，AB=

AC2-BC2

=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

．
故答案為：

6

．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并求出AB是30°角直角三角形的直角邊是解題的關(guān)鍵．