Question

1．已知點O是四邊形ABCD內(nèi)一點，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如圖1，α=60°，探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，α=120°，探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）結(jié)合上面的活動經(jīng)驗探究，請直接寫出如圖3中線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系為AD=2sin$\frac{α}{2}$OB（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AC，根據(jù)已知條件得到△ABC與△COD是等邊三角形，求得∠ACD=∠BCO，推出△ACD≌△BCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接AC，過B作BF⊥AC于F，根據(jù)已知條件得到∠ACB=∠DCO=30°，推出△ACD∽△BCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，由三角函數(shù)的定義得到$\frac{2CF}{BC}$=2sin60°=$\sqrt{3}$，于是得到結(jié)論；
（3）如圖3，連接AC，過B作BF⊥AC于F，根據(jù)已知條件得到∠ACB=∠DCO，推出△ACD∽△BCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，由三角函數(shù)的定義得到結(jié)論．

解答 解：（1）AD=OB，
如圖1，連接AC，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=60°，
∴△ABC與△COD是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACD=∠BCO，
在△ACD與△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCO}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCO，
∴AD=OB；

（2）AD=$\sqrt{3}$OB；
如圖2，連接AC，過B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=120°，
∴∠ACB=∠DCO=30°，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，
∵∠CFB=90°，
∴$\frac{2CF}{BC}$=2sin60°=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$OB；

（3）如圖3，連接AC，過B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α，
∴∠ACB=∠DCO=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，
∵∠CFB=90°，
∴$\frac{2CF}{BC}$=2sin$\frac{α}{2}$，
∴AD=2sin$\frac{α}{2}$OB．
故答案為：AD=2sin$\frac{α}{2}$OB．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．