Question

13．如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩點(diǎn)E、F滿足AE=4，tanα=$\frac{3}{4}$，AE⊥EF，CF⊥EF，EF=CF，則正方形的邊長為10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由AE⊥EF，CF⊥EF，AE=4，tanα=$\frac{3}{4}$，可找出ME的長度以及用CF表示出FM的長度，再由EF=CF，可找出CF的長，結(jié)合勾股定理與正方形的性質(zhì)即可得出正方形的邊長．

解答 解：令EF與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)M，如圖所示．

∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEM=∠CFM=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AME∽CMF，
∴∠EAM=∠FCM=α．
∵AE=4，tanα=$\frac{3}{4}$，
∴EM=3，F(xiàn)M=$\frac{3}{4}$CF，
∵EF=EM+FM=3+$\frac{3}{4}$CF=CF，
∴CF=12，F(xiàn)M=9．
由勾股定理可知：AM=$\sqrt{A{E}^{2}+E{M}^{2}}$=5，CM=$\sqrt{C{F}^{2}+F{M}^{2}}$=15，
∴AC=AM+CM=20．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=10$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用α的三角函數(shù)值找出正方形對(duì)角線AC的長度．本題屬于中檔題，難度不大，單考查到的知識(shí)點(diǎn)較多，需要一步步推導(dǎo)出結(jié)論，由于本題是填空題，故降低了難度，很大知識(shí)可以直接拿來運(yùn)用，不需推導(dǎo)和證明．