如圖,AB是⊙O的直徑,OD垂直于弦AC于點(diǎn)E,且交⊙O于點(diǎn)D,F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn),若∠CDB=∠BFD.
(1)求證:FD是⊙O的一條切線;
(2)若AB=10,AC=8,求DF的長.
考點(diǎn):切線的判定,垂徑定理,相似三角形的判定與性質(zhì)
專題:幾何圖形問題
分析:(1)利用圓周角定理以及平行線的判定得出∠FDO=90°,進(jìn)而得出答案;
(2)利用垂徑定理得出AE的長,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FD的長.
解答:(1)證明:∵∠CDB=∠CAB,∠CDB=∠BFD,
∴∠CAB=∠BFD,
∴FD∥AC(同位角相等,兩直線平行),
∵∠AEO=90°,
∴∠FDO=90°,
∴FD是⊙O的一條切線;

(2)解:∵AB=10,AC=8,DO⊥AC,
∴AE=EC=4,AO=5,
∴EO=3,
∵AE∥FD,
∴△AEO∽△FDO,
AE
FD
=
EO
DO
,
3
5
=
4
FD

解得:FD=
20
3
點(diǎn)評:此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定等知識,得出△AEO∽△FDO是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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1
3
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為建設(shè)“秀美幸福之市”,長沙市綠化提質(zhì)改造工程正如火如荼地進(jìn)行,某施工隊(duì)計劃購買甲、乙兩種樹苗共400棵對芙蓉路的某標(biāo)段道路進(jìn)行綠化改造,已知甲種樹苗每棵200元,乙種樹苗每棵300元.
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(2)已知空調(diào)標(biāo)價為2500元/臺,電風(fēng)扇標(biāo)價為250元/臺.若商場購進(jìn)空調(diào)和電風(fēng)扇共60臺,并全部打八折出售,設(shè)其中空調(diào)的數(shù)量為a臺,商場通過銷售這批空調(diào)和電風(fēng)扇獲得的利潤為w元,求w和a之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,若這批空調(diào)和電風(fēng)扇的進(jìn)貨價不超過45300元,商場通過銷售這批空調(diào)和電風(fēng)扇獲得的利潤又不低于6000元,問商場共有多少種不同的進(jìn)貨方案,哪種進(jìn)貨方案獲得的利潤最高?最高利潤是多少?

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