Question

【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B、C、E在一條直線上，連接BD和AE，BD、AE相交于點P，猜想線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系，以及BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)．（只要求寫出結(jié)論，不必說出理由）
【深入探究】如圖2，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與【觀察發(fā)現(xiàn)】中的條件相同，【觀察發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論是否還成立？請說明理由
【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6，BD=10，求邊CD的長度．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：【觀察發(fā)現(xiàn)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=AE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠DPE=∠DCE；
【深入探究】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=AE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DPE=∠DEC；
【拓展應(yīng)用】把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，判斷出△CDE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DE=CD，∠CED=60°，再求出∠BED=90°，然后利用勾股定理列式求出DE，從而得解．

解答：解：【觀察發(fā)現(xiàn)】∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AB=AC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
由三角形的外角性質(zhì)，∠DPE=∠AEC+∠BDC，
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；

【深入探究】：結(jié)論BD=AE，∠DPE=60°還成立．
∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AB=AC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
∵∠BDC+∠CDE+∠AED=∠AEC+∠CDE+∠AED=∠CDE+∠CED=120°，
∴∠DPE=180°-（∠BDC+∠CDE+∠AED）=180°-120°=60°；
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；

【拓展應(yīng)用】如圖，∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，
則BE=AD，△CDE是等邊三角形，
∴DE=CD，∠CED=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠BED=30°+60°=90°，
在Rt△BDE中，DE=

BD2-BE2

=

102-62

=8，
∴CD=DE=8．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于【拓展應(yīng)用】作出輔助線構(gòu)造成等邊三角形和直角三角形．