Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

4

3

x+b與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B．
（1）填空：b=

 

；
（2）點C在線段OB上，其坐標為（0，m），過點C作CE⊥AB于點E，點D為線段OA上的一個動點，連接CD、DE．
①當m=3，且DE∥y軸時，求點D的坐標；
②在點D運動的過程中，是否存在以CE為直徑的圓恰好與x軸相切于點D？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接把點A（6，0）代入直線y=-

4

3

x+b，求出b的值即可；
（2）①先求出點B的坐標，根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由相似三角形的判定定理得出△BCE∽△BAO，得出BE及AE的長，再根據(jù)△EDA∽△BOA得出OD的長，進而得出結(jié)論；
②取CE的中點P，過P作PG⊥y軸于點G．由△BCE∽△BAO可得CE=

24

5

-

3

5

m，先求出∠GCP=∠BAO，cos∠GCP=cos∠BAO，CG=CP•cos∠GCP，OG=OC+CG，當OG=CP時，⊙P恰好與x軸相切于點D，由OG=CP得出關(guān)于m的一元一次方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

4

3

x+b與x軸交于點A（6，0），
∴（-

4

3

）×6+b=0，解得b=8．
故答案為：8；

（2）①由（1）得y=-

4

3

x+8當x=0時，y=8，即B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OB2+OA2

=

82+62

=10，
當m=3時，BC=5，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
又∵∠OBA=∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，
∴

BE

OB

=

BC

AB

，即

BE

8

=

5

10

，
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=6．
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴

AD

OA

=

AE

AB

，即

6-OD

6

=

6

10

，
∴OD=

12

5

，
∴點D的坐標為（

12

5

，0）．

②解法一：取CE的中點P，過P作PG⊥y軸于點G．
由△BCE∽△BAO可得：CE=

24

5

-

3

5

m，
則CP=

1

2

CE=

12

5

-

3

10

m． 
如圖2，易證∠GCP=∠BAO，
∴cos∠GCP=cos∠BAO=

3

5

，
∴CG=CP•cos∠GCP=

3

5

（

12

5

-

3

10

m）=

36

25

-

9

50

m．
∴OG=OC+CG=m+

36

25

-

9

50

m=

41

50

m+

36

25

．
當OG=CP時，⊙P恰好與x軸相切于點D．
∴

41

50

m+

36

25

=

12

5

-

3

10

m，
解得：m=

6

7

．
解法二：②取CE的中點P，過E作EH⊥x軸于點H，連結(jié)PD．
由△BCE∽△BAO可得：
CE=

24

5

-

3

5

m，BE=

32

5

-

4

5

m，AE=10-BE=

18

5

+

4

5

m，
如圖3，EH⊥x軸 易證∠EHA=∠BOA，∠BAO=∠BAO，
∴△AEH∽△ABO，
∴

EH

BO

=

AE

AB

，
∴EH=

4

5

（

18

5

+

4

5

m）=

72

25

+

16

25

m，
當 PD⊥x軸時，⊙P恰好與x軸相切于點D．
此時易證點D是OH的中點，即PD是梯形COHE的中位線，
∴CO+EH=2PD=CE，
∴m=

72

25

+

16

25

m=

24

5

-

3

5

m，
解得：m=

6

7

．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，難度適中．