Question

17．如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，射線BE、BF將∠ABC三等分交AD于E、F兩點(diǎn)，連接CE并延長交AB于點(diǎn)G，求證：$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AG}{GB}$．

Answer 1

分析 設(shè)CG與BF交點(diǎn)為O，連接BF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=DC，求得∠FCE=∠FBE=∠FBG，推出G，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得到∠GFB=∠GCB，等量代換得到∠GFB=∠FBE，證得GF∥BE，推出△AGF∽△ABE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)CG與BF交點(diǎn)為O，連接BF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
同理∠EBC=∠ECB，
∴∠FBE=∠FCE，
∵BE，BF三等分∠GBD，
∴∠FCE=∠FBE=∠FBG，
∴G，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠GFB=∠GCB，
∴∠GFB=∠FBE，
∴GF∥BE，
∴△AGF∽△ABE，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AG}{GB}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．