Question

如圖1，在第一象限內(nèi)，直線y=mx與過(guò)點(diǎn)B（0，1）且平行于x軸的直線l相交于點(diǎn)A，半徑為r的⊙Q與直線y=mx、x軸分別相切于點(diǎn)T、E，且與直線l分別交于不同的M、N兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，p）時(shí)，
①填空：p=___，m= ___，∠AOE= ___．
②如圖2，連接QT、QE，QE交MN于點(diǎn)F，當(dāng)r=2時(shí)，試說(shuō)明：以T、M、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；
（2）在圖1中，連接EQ并延長(zhǎng)交⊙Q于點(diǎn)D，試探索：對(duì)m、r的不同取值，經(jīng)過(guò)M、D、N三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c，a的值會(huì)變化嗎？若不變，求出a的值；若變化．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）1，，60°；
（2）連接TM，ME，EN，ON，如圖，

∵OE和OP是⊙Q的切線，
∴QE⊥x軸，QT⊥OT，即∠QTA=90°，
而l∥x軸，
∴QE⊥MN，
∴MF=NF，
又∵當(dāng)r=2，EF=1，
∴QF=2-1=1，
∴四邊形QNEM為平行四邊形，即QN∥ME，
∴NQ=NE，即△QEN為等邊三角形，
∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，
在四邊形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，
∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，
∴T、Q、N三點(diǎn)共線，即TN為直徑，
∴∠TMN=90°，
∴TN∥ME，
∴∠MTN=60°=∠TNE，
∴以T、M、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；
（3）對(duì)m、r的不同取值，經(jīng)過(guò)M、D、N三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c，a的值不會(huì)變化．理由如下：
連DM，ME，如圖，
∵DM為直徑，
∴∠DME=90°，
而DM垂直平分MN，
∴Rt△MFD∽R(shí)t△EFM，
∴MF²=EF•FD，
設(shè)D（h，k），（h＞0，k=2r），則過(guò)M、D、N三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，
又∵M(jìn)、N的縱坐標(biāo)都為1，
當(dāng)y=1，a（x-h）²+k=1，解得x₁="h-" ，x₂="h+" ，
∴MN="2" ，
∴MF= MN= ，
∴（）²=1•（k-1），
∵k＞1，
∴=k-1，
∴a=-1．

略