Question

4．已知，在△ABC中，AD是角平分線，AD=BD，AB=2AC，求證：△ACB是直角三角形．

Answer 1

分析 過D作DE⊥AC，得到∠AED=90°，由AD是角平分線，得到∠CAD=∠BAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=2AE，等量代換得到AC=AE，推出△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：過D作DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD是角平分線，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD=BD，
∴AB=2AE，
∵AB=2AC，
∴AC=AE，
在△ACD與△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∴△ACB是直角三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．