Question

5．在矩形ABCD中，點M、N分別在AD、BC上，將矩形沿著MN折疊（點A的對稱點為E，點B的對稱點為F），點E在CD上，過點E作EG∥AD，交MN于點G．
（1）如圖1，求證：△EMG是等腰三角形；
（2）如圖2，若AD=2DE，求∠MEG的正切值；
（3）在（2）的條件下，如圖3，連接AG、BG，若△ABG的面積為$\frac{15}{12}$，AB=AM，求NG的長．

Answer 1

分析 （1）運用平行線的性質和折疊的性質即可證明；
（2）設DE=x，DM=r，根據題意用x表示r即可求解；
（3）過點M作MK⊥EG，過點G作GL⊥NC，延長EG交AB于點H，用含有x的代數式表示△ABG的面積，進而求出x的值，證明△MGK∽△GNL即可求解．

解答 解：（1）如圖1

∵EG∥AD，
∴∠AMN=∠MGE，
∵∠AMN=∠EMG，
∴∠MGE=∠EMG，
∴△EMG是等腰三角形；
（2）如圖2

設DE=x，DM=r，則有AD=2x，ME=AM=2x-r，
在直角三角形MDE中，MD²+DE²=ME²，
r²+x²=（2x-r）²，
解得：r=$\frac{3}{4}x$，
∴DM=$\frac{3}{4}x$，ME=$\frac{5}{4}x$，
∵EG∥AD，
∴tan∠MEG=tan∠DME=$\frac{DE}{DM}$=$\frac{4}{3}$，
（3）如圖3


由（1）知，EM=EG，
又∵AM=EM，
∴AM=EG，
∵AM∥EG，
所以可證四邊形AMEG是菱形，
由（2）知，AM=EM=EG=$\frac{5}{4}x$，
∴AB=AM=$\frac{5}{4}x$，
過點M作MK⊥EG，過點G作GL⊥NC，延長EG交AB于點H，
易證四邊形MKED和四邊形CEGL是矩形，GH⊥AB，
∴MK=DE=x，GL=AB-MK=$\frac{1}{4}x$
∴GK=$\frac{1}{2}x$，GH=2x-$\frac{5}{4}x$=$\frac{3}{4}x$，
由△ABG的面積為$\frac{15}{12}$可得：$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}x$×$\frac{3}{4}x$=$\frac{15}{12}$，
解得：x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
在直角三角形MKG中，MG=$\sqrt{M{K}^{2}+G{K}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵GE∥CN，
∴∠MGK=∠GNL，
∵∠GLN=∠MKG=90°，
∴△MGK∽△GNL，
∴$\frac{MG}{GN}=\frac{MK}{GL}=\frac{4}{1}$，
∴GN=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$x=$\frac{\sqrt{5}}{8}×$$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{30}}{12}$．

點評 此題主要考查幾何變換中的翻折，會熟練運用翻折的性質確定相等的線段和角，會運用勾股定理建立等量關系求解線段，會運用相似建立關系求線段長度是解題的關鍵．