Question

已知如圖，△ABC．
（1）如圖①，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是外角∠MBC，∠BCN的角平分線的交點(diǎn)；
（2）如圖②，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是∠ABC和外角∠ACH的角平分線的交點(diǎn)；
（3）如圖③，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACH的角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是外角∠MBC，∠BCN的角平分線的交點(diǎn)．
請(qǐng)猜測(cè)三種情況下，∠BPC與∠E的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中兩種情況說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：要說(shuō)明∠BPC與∠E的數(shù)量關(guān)系，可以利用測(cè)量的方法，測(cè)出各個(gè)角的度數(shù)，即可猜想出結(jié)論．利用三角形的內(nèi)角與外角的性質(zhì)即可證明．

解答：解：（1）∠BPC+∠E=180°；

（2）∠BPC-∠E=90°；

（3）∠BPC+∠E=90°

證明（1）圖①
∵P、E分別是△ABC的內(nèi)、外角平分線的交點(diǎn)，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠MBC
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠MBC）=90°
同理∠3+∠4=90°
∴∠BPC+∠E=360°-2×90°=180°
證明（2）圖②
∵P、E分別是△ABC的內(nèi)、外角平分線的交點(diǎn)，
∴∠1=

1

2

∠ACB，∠2=

1

2

∠ACH
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ACB+∠ACH）=90°
∴∠BPC=∠E+∠PCE，
即∠BPC-∠E=90°
證明（3）圖③
∵P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACH的角平分線的交點(diǎn)，
點(diǎn)E是外角∠MBC，∠BCN的角平分線的交點(diǎn)．
∴∠EBP=90°，
∴∠BPC+∠E=90°．

點(diǎn)評(píng)：①幾何計(jì)算題中，如果依據(jù)題設(shè)和相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件；
③三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來(lái)解決．