Question

5．直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)C（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，并與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＜0）交于點(diǎn)A（-1，n）．
（1）求直線與雙曲線的解析式．
（2）連接OA，求∠OAB的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的判定，可得△OCB是等腰直角三角形，根據(jù)正弦函數(shù)，可得OM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得OA的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案．

解答 解：（1）將C點(diǎn)代入y=x+b中得到b=-4，
∴y=x-4；
再將A點(diǎn)帶入y=x-4得到n=-5，
∴A（-1，-5），
∴m=-1×（-5）=5，
∴y=$\frac{5}{x}$
∴直線與雙曲線的解析式分別為y=x-4，y=$\frac{5}{x}$；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，即B（0，-4）．
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴在△OMB中 sin45°=$\frac{OM}{OB}$，
∴OM=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴在直角三角形AOM中，
AO=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-5-0）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
sin∠OAB=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，利用正弦函數(shù)得出OM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．