(2009•延慶縣二模)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=12厘米,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線路AB-BC作勻速運(yùn)動,點(diǎn)Q從AC的中點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿線路DC-CB作勻速運(yùn)動逐步靠近點(diǎn)P,設(shè)P,Q兩點(diǎn)運(yùn)動的速度分別為1厘米/秒、a厘米/秒(a>1),它們在t秒后于BC邊上的某一點(diǎn)相遇.
(1)求出AC與BC的長度;
(2)試問兩點(diǎn)相遇時(shí)所在的E點(diǎn)會是BC的中點(diǎn)嗎?為什么?
(3)若以D,E,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,試分別求出a與t的值.(=1.732,結(jié)果精確到0.1)

【答案】分析:(1)根據(jù)已知條件和三角函數(shù)就可以得出AC與BC的長度;
(2)在t秒后,點(diǎn)Q運(yùn)動的路程為at,點(diǎn)P運(yùn)動的路程為t,那么,BE=t-12,CE=at-12,這兩個式子相等的t的值不存在;
(3)以D,E,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,根據(jù)對應(yīng)邊的不同可以分幾種情況進(jìn)行討論.當(dāng)過D點(diǎn)作DE1∥AB時(shí),△DCE1∽△ACB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等就可以解出.當(dāng)過D點(diǎn)作DE2⊥AC,交CB于E2,則△DCE2∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)易得結(jié)論.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=12厘米,
∴AC=2AB=24(厘米).
BC=AB=12(厘米).

(2)E點(diǎn)不會是BC的中點(diǎn).
在t秒后,點(diǎn)Q運(yùn)動的路程為at,點(diǎn)P運(yùn)動的路程為t,那么
BE=t-12,CE=at-12,
∵a>1,
∴at-12>t-12.
∴E點(diǎn)不會是BC的中點(diǎn).

(3)若以D,E,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,
當(dāng)過D點(diǎn)作DE1∥AB,交CB于E1
則△DCE1∽△ACB時(shí),
==
∴E點(diǎn)是BC的中點(diǎn).
但CE1=at-12,BE1=t-12,
∵a>1,故at-12>t-12,
即CE1>BE1,與E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)矛盾,
當(dāng)過D點(diǎn)作DE2⊥AC,交CB于E2
則△DCE2∽△ABC===,
∴CE2=24×=8,
依題意得,,
解得
∴t=18.9秒,a=1.4厘米/秒.
點(diǎn)評:本題是一個綜合題,有一定的難度,主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識.
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(1)求出AC與BC的長度;
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