Question

16．如圖，在矩形ABCD中對角線AC、BD相交于點(diǎn)F，延長BC到點(diǎn)E，使得四邊形ACED是一個平行四邊形，平行四邊形對角線AE交BD、CD分別為點(diǎn)G和點(diǎn)H．
（1）證明：DG²=FG•BG；
（2）若AB=5，BC=6，求三角形△DGH與△CAE面積之比．

Answer 1

分析 （1）由已知可證得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到DG²=FG•BG；
（2）連接BH，記△DGH的面積為s由四邊形ACED是平行四邊形得到AD=CE/DH=CH，由AD∥BE得$\frac{AD}{BE}$=$\frac{DG}{BG}$=$\frac{1}{2}$，用s表示△BGH，△BDH，△BDC，△ACE的面積即可解決問題．

解答 （1）證明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴$\frac{DG}{BG}$=$\frac{AG}{GE}$，
又∵△AGF∽△DGE，
∴$\frac{AG}{GE}$=$\frac{FG}{DG}$，
∴$\frac{DG}{BG}$=$\frac{FG}{DG}$，
∴DG²=FG•BG；
（2）解：如圖，連接BH．
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AD=CE，DH=HC，AD∥BE，S_△ADC=S_△DCB=S_△ACE
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD=BC=CE，S_△ADC=S_△DCE，記△DGH的面積為s，
∵AD∥BE，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{DG}{BG}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BGH=2s，S_△BDH=3s，∴S_△ACE=S_△BCD=6s，
∴$\frac{{S}_{△DGH}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{s}{6s}$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，第二個問題的關(guān)鍵是記△GDH的面積為s，想辦法用s表示△ACE的面積，屬于中考�？碱}型．