Question

2．類比三角形中位線的定義，我們給出梯形中位線的定義：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別是AB、DC的中點，稱線段EF為梯形ABCD的中位線．
（1）理解：如圖，若點E是AB的中點，EF∥BC交CD于F，則EF是梯形ABCD的中位線嗎？為什么？
（2）探究：如圖，梯形ABCD的中位線EF與線段AD、BC三者之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由：（點撥：可連接DE并延長交CB的延長線于G，這樣就可把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決）
（3）應用：如圖，已知∠C=60°，CD=8，梯形中位線EF=6，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線等分線段定理證明即可；
（2）連接DE并延長交CB的延長線于H，證明△DAE≌△HBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理解答即可；
（3）作DP⊥BC于P，根據(jù)正弦的定義求出DP，根據(jù)梯形中位線定理和梯形面積公式計算即可．

解答 解：（1）EF是梯形ABCD的中位線，
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{FC}$，又點E是AB的中點，
∴點F是CD的中點，
∴EF是梯形ABCD的中位線；
（2）梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
如圖1，連接DE并延長交CB的延長線于H，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠HBE，
在△DAE和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠HBE}\\{AE=BE}\\{∠AED=∠BEH}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△HBE，
∴AD=BH，DE=EH，又點F是CD的中點，
∴EF是△DHC的中位線，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（AD+BC）；
（3）如圖2，作DP⊥BC于P，
sinC=$\frac{DP}{CD}$，
則DP=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∵EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）=6，
梯形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×DP=24$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是梯形的中位線定理的推導和應用、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理的應用，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．