Question

如圖在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CD∥BA，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AP交CD于E，探究PE與PA的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：PE=PA，理由為：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥CD，垂足為N，由三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠B=∠ACB=45°，由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ACB=∠BCN=45°，利用角平分線定理得到PM=PN，且得到三角形PMC與三角形PNC都為等腰直角三角形，進(jìn)而確定出∠MPN為直角，再由∠APE為直角，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且?jiàn)A邊PM=PN，利用ASA得到三角形APM與三角形EPN全等，利用全等三角形的性質(zhì)即可得證．

解答：答：PE=PA，理由如下：
證明：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥CD，垂足為N，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CD∥BA，
∴∠B=∠BCN=45°，
∴∠ACB=∠BCN=45°，
∵PM⊥AC，PN⊥CD，
∴PM=PN，
∵∠PMC=∠PNC=90°，∠ACB=∠BCN=45°，
∴△PMC與△PNC都為等腰直角三角形，
∴∠MPC=∠NPC=45°，即∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE，即∠APM=∠EPN，
在△APM和△EPN中，

∠AMP=∠EPN=90° PM=PN ∠APM=∠EPN

，
∴△APM≌△EPN（ASA），
∴AP=EP．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．