Question

4．在平面直角坐標系中，拋物線C₁：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，把C₁沿x軸向右平移m（m＞0）個單位長度，得拋物線C₂，C₁和C₂的交點為點Q，頂點分別是O和P，
（1）直接寫出拋物線C₂的函數(shù)解析式（含m），并求點Q的坐標（含m）．
（2）定義：兩條拋物線，把其中一條只通過沿水平方向向左（或向右）平移得到另一條，且∠OQP=90°，這樣的兩條拋物線稱為“和諧線”．
①當C₁和C₂是和諧線時，求m的值；
②求拋物線y=-x²-2x+3的和諧線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形左加右減，可得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)值相等的點關(guān)于對稱軸對稱，可得Q與P的關(guān)系，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得Q點坐標；
（2）①根據(jù)兩條拋物線，把其中一條只通過沿水平方向向左（或向右）平移得到另一條，且∠OQP=90°，這樣的兩條拋物線成為“和諧線”，可得△OPQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
②根據(jù)兩條拋物線，把其中一條只通過沿水平方向向左（或向右）平移得到另一條，且∠EQP=90°，這樣的兩條拋物線成為“和諧線”，可得△EPQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，
把C₁沿x軸向右平移m（m＞0）個單位長度，得拋物線C₂，得
C₂：y=$\frac{1}{2}$（x-m）²，
過Q作QG⊥x軸于G點，
由Q到對稱軸的距離相等，得OG=PG=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$m．
當x=$\frac{m}{2}$時，y=$\frac{1}{8}$m²，即Q點的坐標為（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{8}$m²）；
（2）①如圖2，
由∠OQP=90°，OQ=PQ，得
∠QOG=45°，OG=PG=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$m，
當x=$\frac{1}{2}$m時，y=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$m）²=$\frac{{m}^{2}}{8}$，即Q（$\frac{1}{2}$m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）．
由∠QOG=45°，∠OGQ=90°，得
OG=GQ，即|$\frac{1}{2}$m|=|$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$m）²|，
解得m=0（舍）、m=±4，
m=-4時，拋物線向左平移，
m=4時，拋物線向右平移，
綜上所述：當C₁和C₂是和諧線時，m的值為4或-4；
②如圖3，
y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，拋物線y=-x²-2x+3的和諧線y=-（x+1-m）²+4，
由△PEQ是等腰直角三角形，得
△PFQ是等腰直角三角形，即PF=FQ．
當x=-1+$\frac{m}{2}$時，y=-$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，即Q（-1+$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+4），
FQ=4-（-$\frac{{m}^{2}}{4}$+4）=$\frac{{m}^{2}}{4}$．
$\frac{m}{2}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$．解得m=2，m=0（舍），
拋物線y=-x²-2x+3的和諧線y=-（x-1）²+4，
同理向左平移，m=-2，
拋物線y=-x²-2x+3的和諧線y=-（x+3）²+4，
綜上所述：拋物線y=-x²-2x+3的和諧線y=-（x-1）²+4或y=-（x+3）²+4．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用兩條拋物線成為“和諧線”得出△EPQ是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．