Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB： 交y軸于點(diǎn)A（0，1），交x軸于點(diǎn)B．過點(diǎn)E（1，0）作x軸的垂線EF交AB于點(diǎn)D，P是直線EF上一動點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)P（1，n）．

（1）直線AB的表達(dá)式為______；

（2）求△ABP的面積（用含n的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)S△ABP=2時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△PAB=n﹣1；（3）C（3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】試題分析：（1）把A的坐標(biāo)代入直線AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，即可求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即可求得；

（3）當(dāng)S△ABP=2時， n﹣1=2，解得n=2，則∠OBP=45°，然后分A、B、P分別是直角頂點(diǎn)求解．

試題解析：（1）∵y＝﹣x+b經(jīng)過A（0，1），

∴b=1，

∴直線AB的表達(dá)式為y=﹣x+1；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，

∵x=1時，y=﹣x+1= ，P在點(diǎn)D的上方，

∴PD=n﹣，S△APD=PDAM=，

由點(diǎn)B（3，0），可知點(diǎn)B到直線x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長為2，

∴S△BPD= PD×2=n﹣，∴S△PAB=S△APD+S△BPD= n﹣+n﹣= n﹣1；

（3）當(dāng)S△ABP=2時， n﹣1＝2，解得n=2，

∴點(diǎn)P（1，2），

∵E（1，0），

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°；

第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，

過點(diǎn)C作CN⊥直線x=1于點(diǎn)N，

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°，

又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C（3，4）；

第2種情況，如圖2，∠PBC=90°，BP=PC，

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°．

又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C（5，2）；

第3種情況，如圖3，∠PCB=90°，CP=EB，

∴∠CPB=∠EBP=45°，

在△PCB和△PEB中，CP＝EB，∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，

∴△PCB≌△PEB（SAS），

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C（3，2）；

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（3，4）或（5，2）或（3，2）．