Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在半徑OB的延長線上，∠BCD=∠A=30°．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若OC⊥AB，AC=5，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠COB=2∠A=60°，則可判斷△OBC為等邊三角形，所以∠OCB=60°，則∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得到弧AC=弧BC，則AC=BC=5，而△OBC為等邊三角形，所以O(shè)C=5，∠COB=60°，在Rt△OCD中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到CD=2OC=10．

解答：解：（1）直線CD與⊙O相切．理由如下：
∵∠COB=2∠A=2×30°=60°，
而OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）∵OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴AC=BC=5，
∵△OBC為等邊三角形，
∴OC=5，∠COB=60°，
在Rt△OCD中，∠D=30°，
∴CD=2OC=10．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．