Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為（3，

3

），點C的坐標為（

1

2

，0），且∠B=60°，點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質

專題：

分析：作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：作A關于OB的對稱點D，交OB于點M，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，
則此時PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，

3

），
∴AB=

3

，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2

3

，
由三角形面積公式得：

1

2

×OA×AB=

1

2

×OB×AM，
∴AM=

3

2

，
∴AD=2×

3

2

=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=

1

2

AD=

3

2

，由勾股定理得：DN=

3

2

3

，
∵C（

1

2

，0），
∴CN=3-

1

2

-

3

2

=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=

12+( 3 2 3 )2

=

31

2

，
即PA+PC的最小值是

31

2

．
故答案為

31

2

．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，關鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中．