Question

如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,點(diǎn)P,Q分別是AB,AC上的一動(dòng)點(diǎn),且滿足BP=AQ,D是BC的中點(diǎn).

(1)求證:△PDQ是等腰直角三角形.

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形APDQ是正方形,并說明理由.

Answer 1

【解析】(1)連接AD.

∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中點(diǎn),

∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,

又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,

∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,

∵∠BDP+∠ADP=90°,

∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,

∴△PDQ為等腰直角三角形.

(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí),四邊形APDQ是正方形;理由如下:

由(1)知△ABD為等腰直角三角形,

當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí),DP⊥AB,即∠APD=90°,

又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,

∴四邊形APDQ為矩形,

又∵DP=AP=AB,∴四邊形APDQ為正方形.