Question

（2013年廣東梅州10分）如圖，已知拋物線y=2x²﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）寫出以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積；
（2）過點(diǎn)E（0，6）且與x軸平行的直線l₁與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），以MN為一邊，拋物線上的任一點(diǎn)P為另一頂點(diǎn)做平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的面積為8時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)D（m，0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l₂上有一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似，求線段QD的長（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

解：（1）∵y=2x²﹣2，∴當(dāng)y=0時(shí)，2x²﹣2=0，x=±1。
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），AB=2。
又當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），OC=2。
∴S_△ABC=AB•OC=×2×2=2。
（2）將y=6代入y=2x²﹣2，得2x²﹣2=6，x=±2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，6），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，6），MN=4。
∵平行四邊形的面積為8，∴MN邊上的高為：8÷4=2。
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6±2。
①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6+2=8時(shí)，2x²﹣2=8，x=±。
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，8）或（，8）。
②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6﹣2=4時(shí)，2x²﹣2=4，x=±，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（，4）。
綜上所述，當(dāng)平行四邊形的面積為8時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，8）或（，8）或（，4）或（，4）。
（3）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∴OB=1，OC=2。
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況：
①OB與BD邊是對應(yīng)邊時(shí)，△OBC∽△DBQ，則，即，
解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2。
②OB與QD邊是對應(yīng)邊時(shí)，△OBC∽△DQB，則，即，
解得。
綜上所述，線段QD的長為2m﹣2或。

解析