Question

12．對于平面直角坐標系中的任意兩點A（a，b），B（c，d），我們把|a-c|+|b-d|叫做A、B兩點之間的直角距離，記作d（A，B）
（1）已知O（0，0）為坐標原點，若點P坐標為（-1，3），求d（O，P）；
（2）若Q（x，y）在第一象限，且滿足d（O，Q）=4，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在平面直角坐標系內(nèi)畫出符合條件的點Q組成的圖形；
（3）設(shè)M是一定點，N是直線y=mx+n上的動點，我們把d（M，N）的最小值叫做M到直線y=mx+n的直角距離，試求點M（2，-1）到直線y=x+3的直角距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，結(jié)合O、P兩點的坐標即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，用含x、y的代數(shù)式表示出來d（O，Q）=4，結(jié)合點Q（x，y）在第一象限，即可得出結(jié)論；
（3）由點N在直線y=x+3上，設(shè)出點N的坐標為（m，m+3），通過尋找d（M，N）的最小值，得出點M（2，-1）到直線y=x+3的直角距離．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：d（O，P）=|0-（-1）|+|0-3|=1+3=4．
（2）d（O，Q）=4，即|x|+|y|=4，
又∵Q（x，y）在第一象限，
∴x＞0，y＞0，
∴x與y之間滿足的關(guān)系式為：x+y=4，
即y=-x+4．
畫出圖形如下．

（3）∵點N在直線y=x+3上，
∴設(shè)點N的坐標為（m，m+3），
則：d（M，N）=|2-m|+|-1-（m+3）|=|2-m|+|m+4|，
當m＜-4時，d（M，N）=-2-2m＞6；
當-4≤m≤2時，d（M，N）=6；
當m＞2時，d（M，N）=2m+2＞6．
故d（M，N）的最小值為6．
答：點M（2，-1）到直線y=x+3的直角距離為6．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應用、畫一次函數(shù)的圖象以及求含絕對值號的一次方程的最值，解題的關(guān)鍵：（1）套用定義中的公式；（2）套用定義中的公式并結(jié)合具體情況畫出一次函數(shù)圖形；（3）分m的不同情況尋找最值．本題屬于中檔題，難度不大，只要能夠讀懂題中的新定義，能夠運用定義中給定的公式解決問題即可．