如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=-2x+b(b≥0)的位置隨b的不同取值而變化.
(1)已知⊙M的圓心坐標(biāo)為(4,2),半徑為2.
當(dāng)b=______時(shí),直線l:y=-2x+b(b≥0)經(jīng)過圓心M;
當(dāng)b=______
【答案】分析:(1)①當(dāng)直線經(jīng)過圓心M(4,2)時(shí),將圓心坐標(biāo)代入直線解析式,即可求得b的值;
②當(dāng)若直線與⊙M相切,如答圖1所示,應(yīng)有兩條符合條件的切線,不要遺漏.
欲求此時(shí)b的值,可以先求出切點(diǎn)P的坐標(biāo),代入解析式即可;欲求切點(diǎn)P的坐標(biāo),可以構(gòu)造相似三角形△PMN∽△BAO,求得PN=2MN,然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN,最后求出P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)本問關(guān)鍵是弄清直線掃過矩形ABCD的運(yùn)動(dòng)過程,可以分為五個(gè)階段,分別求出每一階段S的表達(dá)式,如答圖2-4所示.
解答:解:(1)①直線l:y=-2x+b(b≥0)經(jīng)過圓心M(4,2)時(shí),則有:2=-2×4+b,∴b=10;
②若直線l:y=-2x+b(b≥0)與⊙M相切,如答圖1所示,應(yīng)有兩條符合條件的切線.
設(shè)直線與x軸、y軸交于A、B點(diǎn),則A(,0)、B(0,b),∴OB=2OA.
由題意,可知⊙M與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為D,連接MD;
設(shè)直線與⊙M的一個(gè)切點(diǎn)為P,連接MP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)G;
過P點(diǎn)作PN⊥MD于點(diǎn)N,PH⊥x軸于點(diǎn)H.
易證△PMN∽△BAO,
∴PN:MN=OB:OA=2:1,
∴PN=2MN.
在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得:MN=,PN=,
∴PH=ND=MD-MN=2-,OH=OD-HD=OD-PN=4-,
∴P(4-,2-),代入直線解析式求得:b=10-2;
同理,當(dāng)切線位于另外一側(cè)時(shí),可求得:b=10+2

(2)由題意,可知矩形ABCD頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)b由小到大變化時(shí),直線l:y=-2x+b(b≥0)向右平移,依次掃過矩形ABCD的不同部分.
可得當(dāng)直線經(jīng)過A(2,0)時(shí),b=4;當(dāng)直線經(jīng)過D(2,2)時(shí),b=6;當(dāng)直線經(jīng)過B(6,0)時(shí),b=12;當(dāng)直線經(jīng)過C(6,2)時(shí),b=14.
①當(dāng)0≤b≤4時(shí),S=0;
②當(dāng)4<b≤6時(shí),如答圖2所示.
設(shè)直線l:y=-2x+b與x軸交于點(diǎn)P,與AD交于點(diǎn)Q.
令y=0,可得x=,∴AP=-2;
令x=2,可得y=b-4,∴AQ=b-4.
∴S=S△APQ=AP•AQ=-2)(b-4)=b2-2b+4;
③當(dāng)6<b≤12時(shí),如答圖3所示.
設(shè)直線l:y=-2x+b與x軸交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q.
令y=0,可得x=,∴AP=-2;
令y=2,可得x=-1,∴DQ=-3.
S=S梯形APQD=(DQ+AP)•AD=b-5;
④當(dāng)12<b≤14時(shí),如答圖4所示.
設(shè)直線l:y=-2x+b與BC交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q.
令x=6,可得y=b-12,∴BP=b-12,CP=14-b;
令y=2,可得x=-1,∴DQ=-3,CQ=7-
S=S矩形ABCD-S△PQC=8-CP•CQ=b2+7b-41;
⑤當(dāng)b>14時(shí),S=S矩形ABCD=8.
綜上所述,當(dāng)b由小到大變化時(shí),S與b的函數(shù)關(guān)系式為:

點(diǎn)評(píng):本題是動(dòng)線型壓軸題,綜合考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及圖形面積等重要知識(shí)點(diǎn),涉及的考點(diǎn)較多,難度較大,對(duì)同學(xué)們的解題能力提出了很高的要求.本題的難點(diǎn)在于:(I)第(1)②問中,圓的切線有兩條,容易遺漏.求切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)候,注意運(yùn)用相似關(guān)系化簡(jiǎn)運(yùn)算;(II)第(2)問中,動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)過程分析是難點(diǎn),注意劃分為五個(gè)階段,分別求出每個(gè)階段S的表達(dá)式.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
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8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
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5
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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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