Question

已知：如圖，Rt△ABC中，AC=4，BC=3，DE∥AB．
（1）當△CDE的面積與四邊形DABE的面積相等時，求CD的長；
（2）當△CDE的周長與四邊形DABE的周長相等時，求CD的長．

Answer 1

解：（1）∵DE∥AB，
∴△ACE∽△ACB，
∴=（）²，
∵△CDE的面積與四邊形DABE的面積相等，
∴（）²=，
∵AC=4，
∴CD=2；

（2）∵△CDE的周長與四邊形DABE的周長相等，
∴CD+DE+CE=AD+AB+BE+DE，
∴CD+CE=AD+AB+BE，
∴CD+CE=△ABC的周長，
∵Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴CD+CE=6，
∵△ACE∽△ACB，
∴，
即，
解得：CD=．
分析：（1）由DE∥AB，可得△ACE∽△ACB，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案；
（2）由△CDE的周長與四邊形DABE的周長相等，可得CD+CE=△ABC的周長，由勾股定理，可求得AB的長，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．