【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0)、E(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D,求四邊形AEDB的面積;

(3)△AOB與△DBE是否相似?如果相似,請給以證明;如果不相似,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)9(3)相似

【解析】

試題分析:(1)易得c=3,故設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3,根據(jù)拋物線所過的三點(diǎn)的坐標(biāo),可得方程組,解可得a、b的值,即可得解析式;

(2)易由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形ABDE的面積=,代入數(shù)值可得答案;

(3)根據(jù)題意,易得∠AOB=∠DBE=90°,且,即可判斷出兩三角形相似.

試題解析:(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)(0,3),

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a≠0)

根據(jù)題意,得,

解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)如圖,設(shè)該拋物線對稱軸是DF,連接DE、BD.過點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G.

由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1,4)

設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為F

∴四邊形ABDE的面積=

=AOBO+(BO+DF)OF+EFDF

=×1×3+×(3+4)×1+×2×4

=9;

(3)相似,如圖,

BD=

∴BE=

DE==

∴BD2+BE2=20,DE2=20

即:BD2+BE2=DE2

所以△BDE是直角三角形

∴∠AOB=∠DBE=90°,且,

∴△AOB∽△DBE.

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