Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：
①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中點(diǎn)；④AB=HF；
其中正確的有（　　）個(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=$\sqrt{2}$AB，從而得到AE=AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等；從而判斷出①正確；
②由①可得AB=BE=CD=HD，繼而證得∠EDH=∠EDC，然后由角平分線的性質(zhì)，證得②正確；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；
④判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④錯(cuò)誤．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAE}\\{∠ABE=∠AHD=90°}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正確；
∴BE=DH，
∴AB=BE=CD=HD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，
∵∠C=90°，DH⊥AE，
∴∠EDH=∠EDC，
∴HE=CE；故②正確；
∵AB=AH，
∵∠AHB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠OHE=∠AHB=67.5°，
∴∠DHO=90°-67.5°=22.5°，
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠OHD=22.5°}\\{BE=DH}\\{∠AEB=∠HDF=45°}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，
即H是BF的中點(diǎn)；故③正確；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等邊三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．