Question

5．如圖，在矩形ABCD中，AB=24，BC=12，M、N兩點分別從點B、C開始沿邊BC和CD勻速運動，如果點M、N同時出發(fā)，它們運動的速度均為每秒2個單位長度，當(dāng)點M到達(dá)終點C時，點N也停止運動，設(shè)運動的時間為t（s）．下列說法：①當(dāng)t=3時，MN∥BD；②當(dāng)t=6時，△AMN的面積最��；③當(dāng)t=4時，S_△ABM=S_△AND；④不存在MN與AN垂直的時刻，正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)題意分別求出CM、CN，根據(jù)平行線的判定定理判斷①；根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形的面積公式求出兩個三角形的面積，比較判斷③；根據(jù)勾股定理的逆定理計算，判斷④．

解答 解：當(dāng)t=3時，BM=6，CN=6，
∴CM=6，DN=18，
∴$\frac{CM}{CB}≠\frac{CN}{CD}$，
∴MN與BD不平行，①錯誤；
由題意得，△AMN的面積=四邊形ABCD的面積-△ADN的面積-△NCM的面積-△ABM的面積
=288-$\frac{1}{2}$×12×（24-2t）$-\frac{1}{2}×$2t×（12-2t）-$\frac{1}{2}×$24×2t
=t²-12t+144
=（t-12）²，
當(dāng)t≤12時，y隨x的增大而減小，又0≤t≤6，
∴當(dāng)t=6時，△AMN的面積最小，②正確；
當(dāng)t=4時，S_△ABM=$\frac{1}{2}×$24×8=96，
S_△AND=$\frac{1}{2}$×12×（24-8）=96，
∴當(dāng)t=4時，S_△ABM=S_△AND，③正確；
由題意得，AN²=AD²+DN²=144+（24-2t）²=4t²-96t+720，
MN²=CN²+CM²=8t²-48t+144，
AM²=AB²+BM²=4t²+576，
當(dāng)MN與AN垂直時，4t²-96t+720+8t²-48t+144=4t²+576，
整理得，t²-18t+36=0，
解得，t₁=9-3$\sqrt{5}$，t₂=9+3$\sqrt{5}$（不合題意），
當(dāng)t=9-3$\sqrt{5}$時，MN與AN垂直，④不正確；
故選：B．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握平行線的判定定理、二次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．