Question

在某張航海圖上，標(biāo)明了三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護(hù)區(qū)．
（1）求圓形區(qū)域的面積（π取3.14）；
（2）某時(shí)刻海面上出現(xiàn)-漁船A，在觀測(cè)點(diǎn)O測(cè)得A位于北偏東45°，同時(shí)在觀測(cè)點(diǎn)B測(cè)得A位于北偏東30°，求觀測(cè)點(diǎn)B到A船的距離．（

3

≈1.7，保留三個(gè)有效數(shù)字）；
（3）當(dāng)漁船A由（2）中位置向正西方向航行時(shí)，是否會(huì)進(jìn)入海洋生物保護(hù)區(qū)？通過計(jì)算回答．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，求得半徑的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式求得圓形區(qū)域的面積；
（2）根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)已知求得AD的長(zhǎng)，設(shè)直線O′F交⊙O′于點(diǎn)P，從而求得PE的長(zhǎng)．將PE與AD比較，若PE＜AD則不會(huì)進(jìn)入海洋生物保護(hù)區(qū)，否則能進(jìn)入．

解答：解：（1）連接CB，CO，則CB∥y軸，
∴∠CBO=90°，
設(shè)O′為由O、B、C三點(diǎn)所確定圓的圓心．
則OC為⊙O′的直徑．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

82+62

=

100

=10
半徑OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π=78.50．

（2）解法一：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，依題意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，設(shè)BD=x，則AB=2x，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

3

x，
由題意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=

3

x，
∴x=

6

3 -1

=3（

3

+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2；
解法二：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠AOD=45°，∠BAD=30°，∠ABD=90°-30°=60°，
在Rt△ABD中，設(shè)BD=x，則AB=2x．
∵tan60°=

AD

BD

，
∴AD=xtan60°=

3

x；
在Rt△AOD中，OD=OB+BD=6+x，
∵tan45°=

AD

OD

，
∴AD=tan45°•（6+x）=6+x．
∴

3

x=6+x，x=

6

3 -1

=3（

3

+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2．
或AB=2×

6

3 -1

=2×

6( 3 +1)

2

=6(

3

+1)≈6（1.7+1）=16.2；
解法三：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D．
在Rt△ABD中，設(shè)BD=x，AD=y，
∵∠ABD=90°-30°=60°，tan60°=

y

x

，∴y=

3

x．
在Rt△AOD中，∠AOD=45°，OD=6+x．
∵tan45°=

y

6+x

，
∴y=6+x，
∴

3

x=6+x，以下同解法二．

（3）解法一：過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G．
過點(diǎn)O′作O′E⊥OB于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)EO′交AG于點(diǎn)F．
由（1）知，OO′=5，由垂徑定理得，OE=BE=

1

2

×6=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=

52-32

=4
∵四邊形FEDA為矩形．
∴EF=DA，而AD=

3

x=

3

×8.57≈14.6，
∴O′F=14.6-4=10.6＞5，
∴直線AG與⊙O′相離，A船不會(huì)進(jìn)入海洋生物保護(hù)區(qū)．
解法二：AD=

3

x=

3

×3（

3

+1）=9+3

3

，
設(shè)直線O′F交⊙O′于點(diǎn)P，PE=5+4=9＜9+3

3

，
即PE＜AD，由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＜FE，
所以A船不會(huì)進(jìn)入海洋生物保護(hù)區(qū)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)圓形的面積，勾股定理及方向角等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況．