Question

（2012•江干區(qū)一模）如圖，半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C從點(diǎn)A向點(diǎn)B沿著半圓運(yùn)動(dòng)，速度為每秒

π

6

，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），D是弧BC的中點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)E，連接BD．
（1）如果OC∥BD，求t的值及

BD

AE

的值；
（2）當(dāng)t=3時(shí)，求

BD

AE

的值．

Answer 1

分析：（1）求出∠DBC=∠C=∠CBA=30°，求出弧AC長，即可求出t，求出DB、AD、DE，AE，代入即可求出答案；
（2）過E作EF⊥AB于F，求出AC、BC，求出BF、EF，求出AE，證△ACE∽△BDE，得出

DB

AC

=

BE

AE

，推出DB=

AC•BE

AE

，代入求出即可．

解答：解：（1）∵OC∥DB，OB=OC，
∴∠DBC=∠C=∠CBA，
∴弧DC=弧AC，
又∵點(diǎn)D平分弧BC，
∴弧DC=弧AC=弧BD，
∴∠DBC=∠C=∠CBA=30°，
∴弧AC=

1

3

π，
∴t=

1

3

π÷

π

6

=2．
∵在Rt△ABD中，∠D=90°，AB=2，
∴DB=1，AD=

3

．
∵在Rt△BDE中，∠D=90°，BD=1，∠DBE=30°，
∴tan30°=

DE

BD

，
∴DE=

1

3

3

，
∴AE=

2

3

3

，
∴

DB

AE

=

3

2

；

（2）解：過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，
∵當(dāng)t=3時(shí)，弧AC=

1

2

π，∠ABC=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠BEF=45°=∠CBA=∠CAB，
∵∠C=90°，
∴AC=BC=

2

，BF=EF=CE=2-

2

，EB=

2

BF=2

2

-2，
∴AE²=(

2

)2+(2-

2

)2=8-4

2

，
∵AB為直徑，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴

DB

AC

=

BE

AE

，
∴DB=

AC•BE

AE

，
∴

DB

AE

=

AC•BE

AE2

=

2 •(2 2 -2)

8-4 2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．