Question

【題目】一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，則單位圓與x軸的交點(diǎn)分別為（1，0），（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)分別為（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，α的一邊與x軸的正半軸重合，另一邊與單位圓交于點(diǎn)P（x1，y1），且點(diǎn)P在第一象限．

（1）求x1（用含α的式子表示）；y1（用含α的式子表示）；

（2）將射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后與單位圓交于點(diǎn)Q（x2，y2）．

①判斷y1與x2的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②寫出y1+y2的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）cosα，sinα；（2）①結(jié)論：y1=﹣x2．理由解析；②1＜y1+y2≤．

【解析】

（1）如圖作PF⊥x軸于F，QE⊥x軸于E．則OF=OPcosα，PF=OPsinα，由此即可解決問題；

（2）①過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E．只要證明△QOE≌△OPF即可解決問題；

②當(dāng)P在x軸上時(shí)，得到y1+y2的最小值為1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四邊形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，即可推出當(dāng)EF=PQ=時(shí)，得到y1+y2的最大值為.

（1）如圖作PF⊥x軸于F，則∠OFP=90°，PF=y1，OF=x1，

在Rt△OFP中，sinα=，cosα=，

∴OF=OPcosα，PF=OPsinα，

又∵OP=1，

∴x1=cosα，y1=sinα；

（2）①結(jié)論：y1=﹣x2．

理由：過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E．

∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°，

∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠QOE=90°，

∴∠QOE=∠OPF，

∵OQ=OP，

∴△QOE≌△OPF，

∴PF=OE，

∵P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴PF=y1，OE=﹣x2，

∴y1=﹣x2

②當(dāng)P在x軸上時(shí)，得到y1+y2的最小值為1，

∵y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，

∵四邊形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，

∴當(dāng)EF=PQ=時(shí)，得到y1+y2的最大值為，

∴1＜y1+y2≤，

故答案為1＜y1+y2≤．