Question

已知，矩形ABCO在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，如圖，點A、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3），現(xiàn)將矩形ABCO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得矩形A′BC′O′，使點O′落在x軸的正半軸上，且AB與C′O′交于點D，求：
（1）點O′的坐標(biāo)；
（2）線段AD的長度；
（3）經(jīng)過兩點O′、C′的直線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）連接BO和BO'，由題意知OA=O'A
∴點O'的坐標(biāo)為（2，0）；

（2）設(shè)AD=m
∵BC'=O'A=1，∠BC'D=∠O'AD=90°，∠BDC'=∠O'DA
∴Rt△BDC'≌Rt△O'DA
∴C'D=AD=m
則DO'=3-m
在Rt△ADO'中，AD²+AO'²=DO'²
∴m²+1²=（3-m）²
解之得：m=
∴線段AD的長度為．

（3）設(shè)經(jīng)過點O'、C'的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b
由（1）和（2）得點O'的坐標(biāo)為（2，0），點D的坐標(biāo)為（1，）
而點O'和D都在這條直線上，∴
解之得：，b=
∴經(jīng)過點O'、C'的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x+．
分析：（1）連接BO和BO'，由題意知OA=O'A，從而得出點O′的坐標(biāo)；
（2）先證明Rt△BDC'≌Rt△O'DA，可得C'D=AD=m，再由勾股定理即可求出m的長；
（3）設(shè)經(jīng)過點O'、C'的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，先求出點O′，D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求解．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題及全等三角形的證明，難度適中，關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式．