Question

（2010•無錫）如圖，矩形ABCD的頂點A、B的坐標(biāo)分別為（-4，0）和（2，0），BC=．設(shè)直線AC與直線x=4交于點E．
（1）求以直線x=4為對稱軸，且過C與原點O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點E；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動點，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線x=4與x軸的交點為F，易證得△ABC∽△AFE，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求出EF的長，也就得到了E點的坐標(biāo)；可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后將E點坐標(biāo)代入其中進(jìn)行判斷即可；
（2）過M作y軸的平行線，交直線CN于P，交x軸于Q；根據(jù)拋物線的解析式可求出N點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線CN的解析式，設(shè)出Q點的坐標(biāo)，即可根據(jù)拋物線和直線的解析式求出MP的長；以MP為底，C、N的橫坐標(biāo)差的絕對值為高即可得到△CMN的面積，由此可求出關(guān)于△CMN的面積與Q點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△CMN的最大面積．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=a（x-4）²+m，
∵拋物線過C與原點O，
∴，
解得：，
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-（x-4）²+，
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
，
解得：．
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+，
∴點E的坐標(biāo)為（4，）
∴此拋物線過E點．
（2）過M作MQ∥y軸，交x軸于Q，交直線CN于P；
易知：N（8，0），C（2，2）；
可得直線CN的解析式為y=-x+；
設(shè)點Q的坐標(biāo)為（m，0），則P（m，-m+），M（m，-m²+m）；
∴MP=-m²+m-（-m+）=-m²+m-；
∴S=S_△CMN=S_△CPM+S_△MNP=MP•|x_M-x_C|+MP•|x_N-x_M|=MP•|x_N-x_C|=×（-m²+m-）×6=-m²+5m-8；
即S=-（m-5）²+（2＜m＜8）；
∵2＜5＜8，
∴當(dāng)m=5時，Smax=；
即△CMN的最大面積為．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)及圖形面積的求法等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．