Question

2．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為C，△ACB的面積為2．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是這個(gè)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且△ACP的面積是4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則OA=OB，所以S_△ACO=$\frac{1}{2}$S_△ACB=1，再根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到k=-2，則反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{2}{x}$；然后利用反比例函數(shù)解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），再利用待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$×2×|x+1|=4，解得x=3或x=-5，然后利用反比例函數(shù)解析式計(jì)算出自變量為3和-5的函數(shù)值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA=OB，
∴S_△ACO=$\frac{1}{2}$S_△ACB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴$\frac{1}{2}$|k|=1，
而k＜0，
∴k=-2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{2}{x}$；
把x=-1代入y=-$\frac{2}{x}$得y=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=ax，
把A（-1，2）代入得x=-2，
∴正比例函數(shù)解析式為y=-2x；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
∴AC=2，
∵△ACP的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$×2×|x+1|=4，解得x=3或x=-5，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-$\frac{2}{x}$=-$\frac{2}{3}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-$\frac{2}{3}$）；
當(dāng)x=-5時(shí)，y=-$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{5}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，$\frac{2}{5}$），
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，-$\frac{2}{3}$）、（-5，$\frac{2}{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解析式是解答此題的關(guān)鍵．