Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF．

（1） 證明：EF＝CF；
(2) 當(dāng)AE＝2時，求EF的長．

Answer 1

（1）見解析, （2）EF = 5

解：(1) 如圖，過D作DG⊥BC于G
由已知可得四邊形ABGD為正方形
∵DE⊥DC
∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG
∴∠ADE＝∠GDC
在△ADE與△GDC中，
∴△ADE≌△GDC (ASA) ···························· 3分
∴DE＝DC且AE＝GC
在△EDF和△CDF中
∴△EDF≌△CDF（SAS）··························· ·6分
∴EF＝CF··································· 7分
(2) ∵AE＝2
設(shè)EF＝x，則BF＝8－CF＝8－x，BE＝4
由勾股定理x²＝＋4²
解得  
∴EF = 5    12分
(1)過D作DG⊥BC于G，可得四邊形ABGD為正方形，求得△ADE≌△GDC (ASA)，△EDF≌△CDF（SAS），從而得出結(jié)論
(2)利用勾股定理求解