(2013•莒南縣一模)【典型練習(xí)】如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.(無(wú)需證明)
【拓展變式】小明很順利的完成了上面的練習(xí)后,又進(jìn)一步對(duì)該命題進(jìn)行了發(fā)散思維,把原命題中的一些條件進(jìn)行了變換,得到了如下三個(gè)不同的命題:
(1)如果兩個(gè)三角形有兩條邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.
(2)如果兩個(gè)三角形有兩條邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.
(3)如果兩個(gè)三角形有兩條邊和夾角的平分線對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.
【探索新知】小明對(duì)這三個(gè)命題,無(wú)法判斷其命題的真假,于是他向老師求教.?dāng)?shù)學(xué)老師對(duì)命題(1)做出了一些指導(dǎo),請(qǐng)你幫助小明完成下面的解答過(guò)程.
已知:如圖,AB=A′B′,AD=A′D′,AD是BC邊上的中線,A′D′是B′C′邊上的中線,求證:△ABC≌△A′B′C′,
證明:如圖,延長(zhǎng)AD至E使AD=DE,連接BE,延長(zhǎng)A′D′至E′使A′D′=D′E′,連接B′E′.
【合作學(xué)習(xí)】對(duì)于命題(2)、(3),你能幫助小明判斷命題的真假嗎?如果是真命題,請(qǐng)給完整的證明,如果是假命題,在下面的空白處做出解答.(要求:畫(huà)出圖形,說(shuō)明理由.)
分析:命題(1)延長(zhǎng)AD至E使AD=DE,連接BE,延長(zhǎng)A′D′至E′使A′D′=D′E′,連接B′E′,證△ADC≌△EDB,推出AC=EB,∠DAC=∠E,同理A′C′=E′B′,∠D′A′C′=∠E′.求出AE=A′E′,證△ABE≌△A′B′E′,求出∠BAC=∠B′A′C′,根據(jù)SAS推出△ABC≌△A′B′C′即可;舉出反例圖形即可判斷命題(2);證△ADC∽△EDB,推出
AD
DE
=
AC
BE
,求出
AD
DE
=
AC
AB
,同理
A′D′
D′E′
=
A′C′
A′B′
,求出AE=A′E′,證△ABE≌△A′B′E′,推出∠BAE=∠B′A′E′,求出∠BAC=∠B′A′C′,根據(jù)SAS推出△ABC≌△A′B′C′即可.
解答:解:命題(1):
∵AD是BC邊的中線,
∴BD=DC,
∵在△ADC和△EDB中
AD=DE
∠ADC=∠EDB
CD=BD

∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,∠DAC=∠E,
同理A′C′=E′B′,∠D′A′C′=∠E′.
∵AD=A′D′,AD=DE,A′D′=D′E′,
∴AE=A′E′,
∵在△ABE和△A′B′E′中
AB=A′B′
BE=B′E′
AE=A′E′

∴△ABE≌△A′B′E′(SSS),
∴∠BAE=∠B′A′E′,∠AEB=∠A′E′B′,
∴∠BAC=∠B′A′C′,
∵在△ABC和△A′B′C′中
AC=A′C′
∠BAC=∠B′A′C′
AB=A′B′

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
即命題(1)正確;

命題(2)是假命題.
反例:如圖所示,AB=A′B′,BC=B′C′,AD=A′D′,
△ABC與△A′B′C′不全等;

命題(3)是真命題.
如圖,AB=A′B′,AC=A′C′,AD=A′D′,AD是∠BAC的角平分線,A′D′是∠B′A′C′的角平分線,
求證:△ABC≌△A′B′C′.
證明:過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)B′點(diǎn)作B′E′∥A′C′交A′D′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E′.
∵AD是∠BAC的角平分線,
∴∠BAD=∠CAD,
∵BE∥AC,
∴△ADC∽△EDB,
AD
DE
=
AC
BE
,
∵AB=BE,
AD
DE
=
AC
AB
,
同理
A′D′
D′E′
=
A′C′
A′B′
,
∵AB=A′B′,AC=A′C′,AD=A′D′,
∴DE=D′E′,
∴AE=A′E′,
∵在△ABE和△A′B′E′中
AB=A′B′
BE=B′E′
AE=A′E′

∴△ABE≌△A′B′E′(SSS),
∴∠BAE=∠B′A′E′,
∵AD是∠BAC的角平分線,A′D′是∠B′A′C′的角平分線,
∴2∠BAE=∠BAC,2∠B′A′E′=∠B′A′C′,
∴∠BAC=∠B′A′C′,
∵在△ABC和△A′B′C′中
AC=A′C′
∠BAC=∠B′A′C′
AB=A′B′

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS),
即命題(3)正確.
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似形綜合題,用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì).
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+
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