Question

18．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心，CB為半徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)）．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，求出弦MN的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)△ABM與△ABN相似時(shí)，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²，然后將（0，1）代入可求得a的值，從而可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，連接BC、CN，由勾股定理可知HC²=CN²-CH²=BC²-CH²，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得HN=2，結(jié)合垂徑定理可求得MN的長(zhǎng)；
（3）分為點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)三種情況畫(huà)出圖形，然后依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得AM的距離，從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²．
∵將（0，1）代入得：4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²．
（2）MN的長(zhǎng)不發(fā)生變化．
理由：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，連接BC、CN．

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{4}（a-2）^{2}$）．
∵CH⊥MN，
∴MH=HN．
∵HN²=CN²-CH²=CB²-CH²，
∴HN²=[2-$\frac{1}{4}（a-2）^{2}$]²+（a-2）²-[$\frac{1}{4}（a-2）^{2}$]²=4．
∴HN=2．
∴MN=4．
∴MN不發(fā)生變化．
（3）如圖2所示：

①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)．
∵M(jìn)N經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴MN為圓C的直徑．
∴MC=2．
∵點(diǎn)C（2，0），
∴M（0，0）．
②如圖3所示：

∵△ABM∽△ANB，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{AB}$，即AB²=AM•AN．
設(shè)AM=a，則4=a（a+4），解得：a₁=-2+2$\sqrt{2}$，a₂=-2-2$\sqrt{2}$（舍去），
又∵點(diǎn)A（2，0），
∴2+（-2+2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，0）．
如圖4所示：

∵△ABN∽△AMB，
∴AB²=AN•AM．
設(shè)AM=a，則4=a（a-4），解得：a₁=2+2$\sqrt{2}$，a2=2-2$\sqrt{2}$（舍去）．
又∵點(diǎn)A（2，0），
∴2-（2+2$\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)函數(shù)的解析式、垂徑定理、兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，分為點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)三種情況畫(huà)出圖形，并由相似三角形的性質(zhì)求得AM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．