Question

（2009•包頭）如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中的邊的長(zhǎng)，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等．
②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×時(shí)間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)Q的速度快，且在點(diǎn)P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)P多走等腰三角形的兩個(gè)腰長(zhǎng)．
解答：解：（1）①∵t=1秒，
∴BP=CQ=3×1=3厘米，
∵AB=10厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=5厘米．
又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，
∴PC=8-3=5厘米，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP．（SAS）
②∵v_P≠v_Q，∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒，
∴厘米/秒；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，
由題意，得x=3x+2×10，
解得．
∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了×3=80厘米．
∵80=56+24=2×28+24，
∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，
∴經(jīng)過(guò)秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇．
點(diǎn)評(píng)：此題主要是運(yùn)用了路程=速度×時(shí)間的公式．熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關(guān)系．