Question

8．如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發(fā)，以$\sqrt{3}$cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設(shè)點P運動的時間為ts．
（1）求AC的長；
（2）在P，Q點運動過程中，∠APQ的度數(shù)變化嗎？如果不變，求出大��；如果變化，說明理由；
（3）以P為圓心，PQ長為半徑作圓，問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC只有1個公共點？

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于點E，由菱形的性質(zhì)可知△AEB為直角三角形且∠EAB=30°，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AE的長，從而得到AC的長；
（2）依據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△APQ∽△ACB，從而得到∠APQ=∠ACB=30°；
（3）①當圓P與BC相切時，⊙P與邊BC只有1個公共點，②當圓P與BC相交時，先求得圓P經(jīng)過點B和點C時的t的取值，從而可確定出t的取值范圍．

解答 解：（1）連接BD交AC于點E．

∵ABCD為菱形，∠DAB=60°，
∴∠EAB=30°，∠AEB=90°，AE=CE．
∴AE=AB×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴AC=2$\sqrt{3}$．
（2）∵由題意可知AP=$\sqrt{3}$t，AQ=t，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{\sqrt{3}t}{t}$=$\sqrt{3}$．
又∵$\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AB}$．
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△APQ∽△ACB．
∴∠APQ=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°．
（3）如圖2所示：當圓P與BC相切時．

∵∠PAQ=∠APQ=30°，
∴PQ=AQ．
又∵PQ=PE，
∴AQ=PE．
∵BC為圓P的切線，
∴∠PEC=90°．
∵在△PEC中，∠PEC=90°，∠PCE=30°，
∴PC=2PE=2AQ=2t．
∵AP+PC=2$\sqrt{3}$，AP=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}t$+2t=2$\sqrt{3}$．
∴t=4$\sqrt{3}$-6．
∴當t=4$\sqrt{3}$-6時，圓P與BC只有一個交點．
如圖3所示：當圓P經(jīng)過點B時，連接PB．

∵PQ=PB，∠PQB=60°，
∴PQ=PB=QB．
∵AQ=PQ，
∴AQ=QB=t．
∵AQ+QB=AB，
∴2t=2．
解得；t=1．
如圖4所示，當圓P經(jīng)過點C時．

∵AQ=PQ，PQ=PC，
∴AQ=PC=t．
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}$t+t=2$\sqrt{3}$．
解得：t=3-$\sqrt{3}$．
∴當1＜t＜3-$\sqrt{3}$時，圓P與BC只有一個交點．
綜上所述，當t=4$\sqrt{3}$-6或1＜t＜3-$\sqrt{3}$時，圓P與BC只有一個交點．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)值、等邊三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意畫出圖形，求得圓P經(jīng)過點B和點C時的t的取值是解題的關(guān)鍵．