Question

如圖，在等邊△ABC中，E在BC的延長線上，CF平分∠ACE，P為射線BC上一點，Q為CF上一點，連接AP、PQ．若AP=PQ，求∠APQ是多少度．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：在CF上截取CQ′=BP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，然后根據(jù)SAS求得△ABP≌△ACQ′，得出△PAQ′是等邊三角形，從而證得Q′和Q是同一點，即可求得∠APQ=60°．

解答：解：在CF上截取CQ′=BP，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACE=120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACQ=60°=∠B，
在△ABP與△ACQ′中，

AB=AC ∠ACQ′=∠B=60° BP=CQ′

∴△ABP≌△ACQ′（SAS），
∴AP=AQ′，∠BAP=∠CAQ′，
∴∠CAQ′+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ′=60°，
∴△PAQ′是等邊三角形，
∴AP=PQ′，∠APQ′=60°
∵AP=PQ，
∴PQ=PQ′，
∴Q′和Q是同一點，
∴∠APQ=60°．

點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，證得Q′和Q是同一點，是本題的關(guān)鍵．