Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為點E，過點B作BG∥AC交DE的延長線于點G，連接CG，
（1）求證：△DBE≌△GBE； 
（2）求證：AD⊥CF； 
（3）連接AG，判斷△ACG的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證∠GBE=∠DBE=45°，即可證明△DBE≌△GBE； 
（2）易證BG=BD，可得BG=CD，即可證明△ACD≌△CBG，可得∠BCG=∠CAD，即可求得∠CAD+∠ACF=90°，即可解題；
（3）易得DE=EG，即可證明△ADE≌△AGE，可得AD=AG，易得AD=CG，即可求得AG=CG，即可解題．

解答：證明：（1）∵BG∥AC，∴∠GBC+∠ACB=180°，
∴∠GBC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠GBE=∠DBE=45°，
∵在△DBE和△GBE中，

∠GBE=∠DBE=45° BE=BE ∠BED=∠BEG=90°

，
∴△DBE≌△GBE（ASA）； 
（2）∵△DBE≌△GBE，
∴BG=BD，
∵點D為BC的中點，
∴BD=CD，∴BG=CD，
∵在△ACD和△CBG中，

AC=BC ∠ACD=∠CBG=90° CD=BG

，
∴△ACD≌△CBG，（SAS）
∴∠BCG=∠CAD，
∵∠BCG+∠ACF=90°，
∴∠CAD+∠ACF=90°，
∴AD⊥CF；
（3）∵△DBE≌△GBE，
∴DE=EG，
∵在△ADE和△AGE中，

AE=AE ∠AED=∠AEG=90° DE=EG

，
∴△ADE≌△AGE，（SAS）
∴AD=AG，
∵△ACD≌△CBG，
∴AD=CG，
∴AG=CG，
∴△ACG為等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形的判定，本題中求證△DBE≌△GBE、△ACD≌△CBG和△ADE≌△AGE是解題的關(guān)鍵．