Question

1．已知關于x的一元二次方程x²-kx+k-1=0．
（1）求證：此一元二次方程恒有實數(shù)根．
（2）無論k為何值，該方程有一根為定值，請求出此方程的定值根．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式的符號來判定關于x的一元二次方程x²-kx+k-1=0的根的情況．
（2）利用求根根式求得方程的兩個根，得到其中一根是常數(shù)．

解答 （1）證明：∵△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（k-1）=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴此一元二次方程恒有實數(shù)根．

（2）解：解方程x²-kx+k-1=0，得
$x=\frac{{-（-k）±\sqrt{{{（k-2）}^2}}}}{2×1}=\frac{k±（k-2）}{2}$，
解得x₁=k-1，x₂=1．
其中根X=1與k的取值無關，所以此方程的定值根為x=1．

點評 本題考查了根的判別式，一元二次方程的解的定義．
總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．