Question

12．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=10，點(diǎn)D為AC邊的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，再過點(diǎn)E作EF∥AC，交AB于點(diǎn)F．
（1）設(shè)△ADF的面積為y，CD的長為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求△ADF面積的最大值；
（3）當(dāng)圖中同時有三個平行四邊形時，求AD的長；
（4）當(dāng)△ADF是等腰三角形時，將△ADF沿DF折疊，得到△A′DF，求△A′DF與四邊形DFBC重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形表示出AH，AD，用面積公式即可；
（2）由S_△ADF=-$\frac{1}{2}$x²+5x，要使面積達(dá)到最大值，確定二次函數(shù)的極值；
（3）分三種情況分別計算，由兩腰相等建立方程求出x，然后計算面積即可．

解答 解：（1）如圖1，

∵AC=10，CD=x，
∴AD=10-x，
在等腰直角△ABC中，AE=CD=x，
∵EF∥AC，
∴EC=AH，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AD×AC=$\frac{1}{2}$×（10-x）×x=-$\frac{1}{2}$x²+5x，
（2）由（1）有，S_△ADF=-$\frac{1}{2}$x²+5x=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+$\frac{25}{2}$，
∴當(dāng)x=5時，△ADF面積最大，最大值為$\frac{25}{2}$；
（3）當(dāng)圖中同時有三個平行四邊形時，
∴DE=AF=BF，
∴DE是△ABC的中位線，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=5；
（3）由題意得△A′DF與四邊形DFBC重疊部分的面積等于△ADF的面積，
①當(dāng)DF=AF時，如圖2，

∵∠A=45°
∴∠ADF=45°，
∴∠AFD=90°，
∵DE∥AB，
∴∠EDF=90°，
∵DF=DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$x，
∴DF=AF=2x，
∵AD=10-x，
∴10-x=$\sqrt{2}$×2x，
∴x=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AF²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{10\sqrt{2}}{3}$）²=$\frac{100}{9}$．
∴△A′DF與四邊形DFBC重疊部分的面積$\frac{100}{9}$
②當(dāng)DF=AD時，如圖3，

同理：得到∠ADF=90°，CD=DE=x，
∴x=10-x，
∴x=5，
∴AD=10-5=5，
S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AD²=$\frac{1}{2}$×5²=$\frac{25}{2}$，
∴△A′DF與四邊形DFBC重疊部分的面積$\frac{25}{2}$；
③當(dāng)AF=AD時，如圖1，

由題意得，AF=DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=10-x，
∴x=10（$\sqrt{2}$-1），
∴AD=10-x=10（2-$\sqrt{2}$），
由（1）有AH=CE=CD=10（$\sqrt{2}$-1），
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AD×AH=$\frac{1}{2}$×10（2-$\sqrt{2}$）×10（$\sqrt{2}$-1）=150$\sqrt{2}$-200，
∴△A′DF與四邊形DFBC重疊部分的面積150$\sqrt{2}$-200．
∴△A′DF與四邊形DFBC重疊部分的面積$\frac{100}{9}$、$\frac{25}{2}$和150$\sqrt{2}$-200．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的面積計算方法，二次函數(shù)的極值的確定方法，折疊的性質(zhì)，三角形的中位線，解本題的關(guān)鍵是找到相等關(guān)系，建立方程．