Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AO⊥BC交BC于點(diǎn)D，過A點(diǎn)作AP∥BC，交BO的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑R為5，BC=8，求線段AP的長．

Answer 1

（1）證明：AO⊥BC于點(diǎn)D．
∴∠ADB=90°，
∵AP∥BC，
∴∠ADB=∠PAD=90°．
∴AO⊥AP
∵AO為⊙O的半徑，
∴AP為⊙O的切線．

（2）解：∵AO⊥BC，BC=8，
∴BD=DC=4．
在Rt△BDO中，
∵OB=5，
∴．
又∵∠BDO=∠OAP=90°，∠AOP=∠BOD，
∴△AOP∽△DOB
∴，
即．
∴．
分析：（1）由AO與BC垂直得到∠ADB=90°，又AP平行于BC，根據(jù)內(nèi)錯角相等得到∠ADB=∠PAD=90°，即OA垂直于AP，又AO為圓O的半徑，故AP為圓O的切線；
（2）由AO垂直BC于D，根據(jù)垂徑定理得到D為BC中點(diǎn)，由BC的長一半求出BD和CD的長，在直角三角形OBD中，由BD和半徑OB的長，根據(jù)勾股定理求出OD的長，然后由兩對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△AOP∽△DOB，進(jìn)而得到對應(yīng)邊成比例，列出AP的方程，即可求出方程的解即可得到AP的長．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)與判斷．切線的證明方法有兩種：
1、已知點(diǎn)，連接此點(diǎn)與圓心，證明夾角為直角；
2、未知點(diǎn)，作垂線，證明垂線段等于半徑．