Question

在△ABC中，邊BC、AC上的中線AE、BD相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作MN∥BC，已知

BD

=

a

，

AC

=

b

，試用

a

和

b

表示

BC

、

MN

．

Answer 1

分析：先由D是AC上的中點(diǎn)，可知

DC

=

1

2

AC

=

1

2

b

，根據(jù)向量加法的三角形法則可以求出

BC

．根據(jù)點(diǎn)G為△ABC的重心，可得

AG

AE

=

2

3

，由平行線的性質(zhì)可得MN=

2

3

BC，則

MN

易求．

解答：解：∵DC=

1

2

AC，
∴

DC

=

1

2

AC

=

1

2

b

，（2分）
∴

BC

=

BD

+

DC

=

a

+

1

2

b

；（2分）
∵中線AE、BD相交于點(diǎn)G，
即點(diǎn)G為△ABC的重心，
∴

AG

AE

=

2

3

，（2分）
∵M(jìn)N∥BC，
∴

MN

BC

=

AN

AC

=

AG

AE

=

2

3

，
∴MN=

2

3

BC，（2分）
∴

MN

=

2

3

BC

=

2

3

(

a

+

1

2

b

)=

2

3

a

+

1

3

b

．

點(diǎn)評：本題難度中等，考查向量的知識．解題的關(guān)鍵是熟悉向量加法的三角形法則及三角形的重心的定義和平行線的性質(zhì)．