Question

（2013•南通）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

3

，BC=3，△DEF是邊長為a（a為小于3的常數）的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點D在線段AC上，DE∥AB，設△DEF與△ABC重疊部分的周長為T．
（1）求證：點E到AC的距離為一個常數；
（2）若AD=

1

4

，當a=2時，求T的值；
（3）若點D運動到AC的中點處，請用含a的代數式表示T．

Answer 1

分析：（1）解直角三角形，求得點E到AC的距離等于

3

2

a，這是一個定值；
（2）如答圖2所示，作輔助線，將四邊形MDEN分成一個等邊三角形和一個平行四邊形，求出其周長；
（3）可能存在三種情形，需要分類討論：
①若0＜a≤

3

2

，△DEF在△ABC內部，如答圖3所示；
②若

3

2

＜a≤

3

，點E在△ABC內部，點F在△ABC外部，在如答圖4所示；
③若

3

＜a＜3，點E、F均在△ABC外部，如答圖5所示．

解答：解：（1）由題意得：tanA=

BC

AC

=

3

3

=

3

，
∴∠A=60°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=60°．
如答圖1所示，過點E作EH⊥AC于點H，

則EH=DE•sin∠CDE=a•

3

2

=

3

2

a．
∴點E到AC的距離為一個常數．

（2）若AD=

1

4

，當a=2時，如答圖2所示．

設AB與DF、EF分別交于點M、N．
∵△DEF為等邊三角形，∴∠MDE=60°，
由（1）知∠CDE=60°，
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°，
又∵∠A=60°，
∴△ADM為等邊三角形，
∴DM=AD=

1

4

．
過點M作MG∥AC，交DE于點G，則∠DMG=∠ADM=60°，
∴△DMG為等邊三角形，
∴DG=MG=DM=

1

4

．
∴GE=DE-DG=2-

1

4

=

7

4

．
∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，
又∵DE∥AB，
∴四邊形MGEN為平行四邊形．
∴NE=MG=

1

4

，MN=GE=

7

4

．
∴T=DE+DM+MN+NE=2+

1

4

+

7

4

+

1

4

=

17

4

．

（3）若點D運動到AC的中點處，分情況討論如下：
①若0＜a≤

3

2

，△DEF在△ABC內部，如答圖3所示：

∴T=3a；
②若

3

2

＜a≤

3

，點E在△ABC內部，點F在△ABC外部，在如答圖4所示：

設AB與DF、EF分別交于點M、N，過點M作MG∥AC交DE于點G．
與（2）同理，可知△ADM、△DMG均為等邊三角形，四邊形MGEN為平行四邊形．
∴DM=DG=NE=AD=

3

2

，MN=GE=DE-DG=a-

3

2

，
∴T=DE+DM+MN+NE=a+

3

2

+（a-

3

2

）+

3

2

=2a+

3

2

；
③若

3

＜a＜3，點E、F均在△ABC外部，如答圖5所示：

設AB與DF、EF分別交于點M、N，BC與DE、EF分別交于點P、Q．
在Rt△PCD中，CD=

3

2

，∠CDP=60°，∠DPC=30°，
∴PC=CD•tan60°=

3

2

×

3

=

3

2

．
∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．
由（1）知，點E到AC的距離為

3

2

a，∴PQ=

3

2

a-

3

2

．
∴QE=PQ•tan30°=（

3

2

a-

3

2

）×

3

3

=

1

2

a-

3

2

，PE=2QE=a-

3

．
由②可知，四邊形MDEN的周長為2a+

3

2

．
∴T=四邊形MDEN的周長-PE-QE+PQ=（2a+

3

2

）-（a-

3

）-（

1

2

a-

3

2

）+（

3

2

a-

3

2

）=

3 +1

2

a+2

3

-

3

2

．
綜上所述，若點D運動到AC的中點處，T的關系式為：
T=

3a(0＜a≤ 3 2 ) 2a+ 3 2 ( 3 2 ＜a≤ 3 ) 3 +1 2 a+2 3 - 3 2 ( 3 ＜a＜3)

．

點評：本題考查了運動型綜合題，新穎之處在于所求是重疊部分的周長而非面積．難點在于第（3）問，根據題意，可能的情形有三種，需要分類討論，避免漏解．