Question

如圖，O是邊長為a的正方形ABCD的對稱中心，P為OD上一點，OP=b（），連接AP，把一個邊長均大于的直角三角板的直角頂點放置于P點處，讓三角板繞P點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時保持三角板的兩直角邊分別與正方形的BC、CD邊（含端點）相交，其交點為E、F．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，PE的長能否與AP的長相等？若能，請作出此時點E的位置，并給出證明；若不能，請說明理由．
（2）探究在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EF與AP長的大小關(guān)系，并對你得出的結(jié)論給予證明．

Answer 1

解：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，PE的長能與AP的長相等．如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，
∴△BPA≌△BPC，
∴PA=PC，
∴當(dāng)PE運(yùn)動到PC位置時（點E與C重合）時，PE=AP；

（2）線段EF≥AP．理由如下：
過P點作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，連EF，MN，PC，如圖，
∴PE＞PN，PF＞PM，
而EF=，MN=，
∴EF＞MN，
又∵M(jìn)N=PC=PA，
∴EF＞PA，
當(dāng)點E與N重合，則F點與M重合，此時EF=PA，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EF≥AP．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，則△BPA≌△BPC，得PA=PC，于是有當(dāng)PE運(yùn)動到PC位置時（點E與C重合）時，PE=AP；
（2）過P點作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，連EF，MN，PC，則PE＞PN，PF＞PM，利用勾股定理得到EF＞MN，即有EF＞PA，當(dāng)點E與N重合，則F點與M重合，此時EF=PA，于是有
線段EF≥AP．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．