Question

1．如圖，拋物線(xiàn)y=x²+bx+3頂點(diǎn)為P，且分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)P的右側(cè)，tan∠ABO=$\frac{1}{3}$．
（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在這樣的點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形？如果存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正切函數(shù)，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AD²=1+m²，AB²=1²+3²=10，BD²=4+（m-3）²，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B（0，3）．
tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{AO}{3}$=$\frac{1}{3}$，
AO=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3）．
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
1-b+3=0，解得b=4．
拋物線(xiàn)的解析式為y=x²+4x+3，
y=（x+2）²-1，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1）；
（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在這樣的點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為D（-2，m），A（-1，0），B（0，3）．
由勾股定理，得
AD²=1+m²，AB²=1²+3²=10，BD²=4+（m-3）²．
①當(dāng)AD²+AB²=BD²時(shí)，即1+m²+10=4+（m-3）²，解得m=$\frac{1}{3}$，即D₁（-2，$\frac{1}{3}$）；
②當(dāng)AD²+BD²=AB²時(shí)，即1+m²+4+（m-3）²=10，解得m=2或m=1，即D₂（-2，2），D₃（-2，1）；
③當(dāng)AB²+BD²=AD²時(shí)，即10+4+（m-3）²=1+m²，解得m=$\frac{11}{3}$，即D₄（-2，$\frac{11}{3}$），
綜上所述：D₁（-2，$\frac{1}{3}$），D₂（-2，2），D₃（-2，1）；D₄（-2，$\frac{11}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用勾股定理及逆定理得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論，以防遺漏．