Question

（2012•婁底）已知二次函數(shù)y=x²-（m²-2）x-2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）和點(diǎn)B（x₂，0），x₁＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足

1

x1

+

1

x2

=

1

2

．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求拋物線的解析式，關(guān)鍵是求得m的值．根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問(wèn)題得到解決．注意：解答中求得兩個(gè)m的值，需要進(jìn)行檢驗(yàn)，把不符合題意的m值舍去；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-（m²-2）x-2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）和點(diǎn)B（x₂，0），x₁＜x₂，
令y=0，即x²-（m²-2）x-2m=0 ①，則有：
x₁+x₂=m²-2，x₁x₂=-2m．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

m2-2

-2m

=

1

2

，
化簡(jiǎn)得到：m²+m-2=0，解得m₁=-2，m₂=1．
當(dāng)m=-2時(shí)，方程①為：x²-2x+4=0，其判別式△=b²-4ac=-12＜0，此時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意，舍去；
當(dāng)m=1時(shí)，方程①為：x²+x-2=0，其判別式△=b²-4ac=9＞0，此時(shí)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，符合題意．
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+x-2．

（2）假設(shè)在直線y=x+3上存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形．
如圖所示，連接PA、PB、AC、BC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D點(diǎn)．
∵拋物線y=x²+x-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，
∴A（-2，0），B（1，0），C（0，-2），∴OB=1，OC=2．
∵PACB為平行四邊形，∴PA∥BC，PA=BC，
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD與Rt△CBO中，
∵

∠PAD=∠CBO PA=BC ∠APD=∠OCB

，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO，
∴PD=OC=2，即y_P=2，
∴直線解析式為y=x+3，
∴x_P=-1，
∴P（-1，2）．
所以在直線y=x+3上存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)、一元二次方程根的解法及根與系數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等方面的知識(shí)，涉及的考點(diǎn)較多，有一定的難度．